수학을 사랑하는 공돌이

안녕하세요, 오늘은 재미있는 IVT / MVT 문제들이 몇 가지 있어 소개시켜 드리려고 합니다. 여러분도 함께 풀어보시면 좋을 것 같습니다.문제 1. $ f(0)=f(1) $인 연속함수 $ f:[0, 1] \longrightarrow \mathbb{R} $에 대해, $ f(c)=f \left( c+ \frac{1}{2} \right) $인 실수 $ c \in \left[0, \frac{1}{2} \right] $가 존재함을 보이시오. 직관을 얻기 위해 그래프를 몇 번 그려보다 보면 그러한 $c$가 무조건 존재는 하는 것 같은데, 어떻게 보여야 할 지 감이 잘 잡히지 않습니다. 아마 몇 번 시도해 보다가 포기한 분들도 계실 겁니다. 그러나 풀이는 놀랍도록 간단합니다.풀이. 먼저 $f$가 연속이라는 조건 밖..

주의: 본 글은 선형대수학과 미분방정식에 대한 이해를 필요로 합니다. 안녕하세요. 먼저 죄송하게도 사실 제목에서 쉽게 푼다(?)고 한 것은 어그로에 가깝습니다. 본 글에선 이런 문제가 만들어진 계기가 무엇인지, 해괴한 숫자들은 어디서 튀어나왔는지에 대한 수학적인 motivation을 제공하는 것이 주된 요지일 것 같습니다.시작하기에 앞서 저희가 오늘 볼 문제는 다음과 같습니다.  언뜻 보면 간단해 보이는 문제지만, 무언가 심오한 의미가 뒷편에 숨겨져 있을 것 같습니다. 가령 어떻게 적분값이 항상 함숫값들의 linear combination으로 표현되는지, 그리고 왜 하필 $x=-\sqrt{\frac{3}{5}}, x=0, x=\sqrt{\frac{3}{5}}$에서의 함숫값들인지 말입니다. 본 글에서는 그..