주의: 본 글은 선형대수학과 미분방정식에 대한 이해를 필요로 합니다.
안녕하세요. 먼저 죄송하게도 사실 제목에서 쉽게 푼다(?)고 한 것은 어그로에 가깝습니다. 본 글에선 이런 문제가 만들어진 계기가 무엇인지, 해괴한 숫자들은 어디서 튀어나왔는지에 대한 수학적인 motivation을 제공하는 것이 주된 요지일 것 같습니다.
시작하기에 앞서 저희가 오늘 볼 문제는 다음과 같습니다.
언뜻 보면 간단해 보이는 문제지만, 무언가 심오한 의미가 뒷편에 숨겨져 있을 것 같습니다. 가령 어떻게 적분값이 항상 함숫값들의 linear combination으로 표현되는지, 그리고 왜 하필 $x=-\sqrt{\frac{3}{5}}, x=0, x=\sqrt{\frac{3}{5}}$에서의 함숫값들인지 말입니다. 본 글에서는 그 이유에 대해 간단하게나마 설명해보려고 합니다.
1. Legendre Polynomial
시작하기 전에, 두 함수 $f, g$ 사이의 내적을
$$\langle f, g \rangle=\int_{-1}^{1}f(x)g(x)dx$$
로 정의합시다.
자연수 $n$에 대하여 미분방정식
$$ (1-x^{2})y''-2xy'+n(n+1)y=0 $$
을 생각합시다. 위 미분방정식을 Legendre differential equation이라 부릅니다. 그러면, $n$차 다항식
$$ P_{n}(x)=\frac{1}{2^{n}n!} \frac{d^{n}}{dx^{n}} \left[ \left( x^{2}-1 \right)^{n} \right] $$
이 위 미분방정식의 해임을 어렵지 않게 보일 수 있습니다. 위 다항식을 Legendre polynomial이라 부르고, 위에서 설명한 Legendre polynomial을 구하는 공식을 Rodrigues' formula라 합니다. Rodrigues' formula로부터 n차 Legendre polynomial이 닫힌구간 $\left[ -1, 1 \right]$에서 $n$개의 서로 다른 실근을 가짐을 보일 수 있습니다. (김김계 해석개론 제2개정판 연습문제 4.4.12 참고)
한편, 위 미분방정식을
$$ \left[ \left( x^{2}-1 \right) y' \right] '+n(n+1)y=0 $$
으로 다시 쓸 수 있으므로, 위 미분방정식은 Sturm-Liouville problem에 속합니다. 따라서 Sturm-Liouville theory에 의해, $m \neq n$인 임의의 두 음이 아닌 정수 $m, n$에 대해
$$ \int_{-1}^{1} P_{m}(x) P_{n}(x)=0 $$
이므로, Legendre polynomial이 $\mathbb{R}[x]$의 orthogonal basis를 이룸을 알 수 있습니다.
2. Lagrange Polynomial
$n+1$개의 점
$$ \left( x_{0}, f \left( x_{0} \right) \right), \left( x_{1}, f \left( x_{1} \right) \right), \cdots, \left( x_{n}, f \left( x_{n} \right) \right) $$
을 지나는 $n$차 이하의 다항식 $f(x)$를 구하려면 어떻게 해야 할까요? 먼저 다음과 같은 다항식을 생각합시다.
$$ l_{i}(x)=\prod_{0 \leq j \leq n, i \neq j} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}} $$
그러면 조금만 생각해보면 위 함수가 $0 \leq i, j \leq n$인 임의의 두 정수 $i, j$에 대하여
$$ l_{i} \left( x_{j} \right) = \delta_{ij} $$
를 만족시킴을 쉽게 알 수 있습니다. 위 함수를 Lagrange interpolating polynomial이라 합니다. 이제 $f(x)$를 어떻게 만들어야 할지 감이 잡히셨을 것입니다. 당연히
$$ f(x)=\sum_{i=0}^{n} f \left( x_{i} \right) l_{i} \left( x \right) $$
로 만들면 $f(x)$가 $n+1$개의 점을 모두 지나는 것을 확인할 수 있습니다. 또한 Lagrange interpolating polynomial들이 $n$차 이하의 다항식들의 space의 basis를 이루기 때문에, $n+1$개의 점을 지나는 $n$차 이하의 다항식이 $f(x)$로 유일함도 알 수 있습니다. 이렇게 만들어진 다항식 $f(x)$를 Lagrange polynomial이라 합니다.
3. 문제 풀이
이제 문제를 다시 들여다 봅시다. 임의의 5차 이하의 다항식 $f(x)$를 생각합시다. $f(x)$를 $P_{3}(x)$로 나눈 몫 $q(x)$와 나머지 $r(x)$를 생각하면 두 다항식 모두 2차 이하임을 알 수 있습니다. 이제 $q(x)$가 $P_{0}(x), P_{1}(x), P_{2}(x)$의 linear combination으로 나타내어질 수 있으므로, Legendre polynomial의 orthogonality에 의해
$$ \int_{-1}^{1} f(x)dx = \int_{-1}^{1} \left[ P_{3}(x)q(x)+r(x) \right]dx = \int_{-1}^{1}r(x)dx $$
임을 알 수 있습니다.
한편, Rodrigues' formula로부터
$$ P_{3}(x)=\frac{1}{2} \left( 5x^{3}-3x \right) $$
이고, 이로부터 $ P_{3}(x) $가 서로 다른 세 실근
$$ x_{0} = -\sqrt{\frac{3}{5}}, x_{1} = 0, x_{2} = \sqrt{\frac{3}{5}} $$
를 가지므로, 각 정수 $i = 0, 1, 2$에 대해
$$ f \left( x_{i} \right) = P_{3} \left( x_{i} \right) q \left( x_{i} \right) + r \left( x_{i} \right) = r \left( x_{i} \right) $$
임을 알 수 있습니다. 따라서 Lagrange interpolating polynomial
$$ l_{i}(x) = \prod_{0 \leq j \leq 2, i \neq j} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}} $$
에 대해 $r(x)$를
$$ r(x) = \sum_{i=0}^{2} f \left( x_{i} \right) l_{i}(x) $$
로 쓸 수 있음을 알 수 있습니다.
이제 위 결과들을 종합하면
$$ \int_{-1}^{1} f(x)dx = \int_{-1}^{1} r(x)dx = \sum_{i = 0}^{2} f \left( x_{i} \right) \int_{-1}^{1} l_{i}(x) dx $$
임을 알 수 있습니다. 이제 모든게 끝났습니다. 위 식으로부터
$$ a = \int_{-1}^{1} \frac{x}{-\sqrt{3/5}} \cdot \frac{x-\sqrt{3/5}}{-2\sqrt{3/5}} dx = \frac{5}{9}, b = \int_{-1}^{1} \frac{x+\sqrt{3/5}}{\sqrt{3/5}} \cdot \frac{x-\sqrt{3/5}}{-\sqrt{3/5}} = \frac{8}{9} $$
임을 알 수 있으므로, 최종적인 답은 2번입니다.
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