재미있는 IVT / MVT 문제들 몇 가지

 

 

안녕하세요, 오늘은 재미있는 IVT / MVT 문제들이 몇 가지 있어 소개시켜 드리려고 합니다. 여러분도 함께 풀어보시면 좋을 것 같습니다.

문제 1. $ f(0)=f(1) $인 연속함수 $ f:[0, 1] \longrightarrow \mathbb{R} $에 대해, $ f(c)=f \left( c+ \frac{1}{2} \right) $인 실수 $ c \in \left[0, \frac{1}{2} \right] $가 존재함을 보이시오.

 

직관을 얻기 위해 그래프를 몇 번 그려보다 보면 그러한 $c$가 무조건 존재는 하는 것 같은데, 어떻게 보여야 할 지 감이 잘 잡히지 않습니다. 아마 몇 번 시도해 보다가 포기한 분들도 계실 겁니다. 그러나 풀이는 놀랍도록 간단합니다.

풀이. 먼저 $f$가 연속이라는 조건 밖에 없으므로, IVT를 이용해야 할 것 같습니다. 먼저 새로운 함수 $ g(x)=f \left( x+ \frac{1}{2} \right) -f(x) $를 잡읍시다. 그러면, 위 문제는 $ g(c)=0 $인 $ c \in \left[0, \frac{1}{2} \right] $를 찾는 문제로 바뀝니다. 이제, $g(0)$과 $g \left( \frac{1}{2} \right)$의 값을 관찰해보면,

 

$$ g(0) =f \left( \frac{1}{2} \right) - f(0) $$

$$ g \left( \frac{1}{2} \right) = f(1) - f \left( \frac{1}{2} \right) = f(0) - f \left( \frac{1}{2} \right) $$

 

이므로,

 

$$ g(0)g \left( \frac{1}{2} \right) = - \left( f \left( \frac{1}{2} \right) - f(0) \right)^{2} \leq 0 $$

임을 알 수 있습니다. 따라서 IVT에 의해 $ g(c)=0 $인  $ c \in \left[0, \frac{1}{2} \right] $가 존재함을 알 수 있습니다. $ \square $

 

어떠셨나요? 풀이가 깜짝 놀랄만큼 간결하지 않았나요? ㅎㅎ. 다음으로 소개드릴 문제는 위와 비슷한 테크닉으로 풀리지만, 생각을 조금 더 해봐야 하는 문제입니다.

 

문제 2. 닫힌구간 $ [0, 1] $에서 연속이고, 열린구간 $ (0, 1) $에서 두 번 미분가능한 함수 $ f(x) $가 $ f(0)=f(1)=0 $, $f'(0)f'(1) > 0$을 만족시킬 때, $f''(c)=f(c)$인 실수 $ c \in (0, 1) $이 존재함을 보이시오.

 

아까 문제와 달리 직관을 쓰기는 힘들어 보이는 문제입니다. 힌트는 아까도 말씀드렸다시피 "새로운 함수"를 잡는 것입니다.

 

풀이. 일반성을 잃지 않고 $f'(0)>0$이라 가정합시다. (왜 가능할까요? $f'(0)<0$인 경우 $f(x)$ 대신에 $-f(x)$를 생각하면 그만이기 때문입니다.) 그러면 $f'(0)>0$, $f'(1)>0$이므로, $0$에 충분히 가까운 실수 $p$가 존재하여 $ f(p)>0 $, $1$에 충분히 가까운 실수 $q$가 존재하여 $ f(q)<0 $입니다. 따라서 IVT에 의해 $ f(r)=0 $인 $ r \in (p, q) \subset (0, 1) $이 존재합니다.

 

이제 새로운 함수 $ g(x)=f(x)e^{-x} $를 잡읍시다. (왜 이렇게 잡는지 의아하실 수 있습니다. 그러나 일단 지켜보는 걸로 합시다.) 그러면 $ g(0)=g(r)=g(1)=0 $이므로, 롤의 정리에 의해

$$ g' \left( r_{1} \right) = \left( f' \left( r_{1} \right) - f \left( r_{1} \right) \right) e^{-r_{1}} = 0 \iff f \left( r_{1} \right) - f' \left( r_{1} \right) =0 $$

$$ g' \left( r_{2} \right) = \left( f' \left( r_{2} \right) - f \left( r_{2} \right) \right) e^{-r_{2}} = 0 \iff f \left( r_{2} \right) - f' \left( r_{2} \right) =0 $$

인 두 실수 $ r_{1} \in (0, r) $, $ r_{2} \in (r, 1) $을 잡을 수 있습니다.

이제 또 다시 새로운 함수 $ h(x)=(f(x)-f'(x))e^{x} $를 잡읍시다. (역시나 왜 이렇게 잡는지 의아하실 수 있으나 ...) 그러면 위의 결과에 의해 $ h \left( r_{1} \right) = h \left( r_{2} \right) = 0 $이므로, 롤의 정리에 의해

$$ h'(c) = (f(c)-f''(c))e^{c} = 0 \iff f(c) = f''(c) $$

인 실수 $ c \in \left( r_{1}, r_{2} \right) \subset (0, 1) $를 잡을 수 있습니다. 따라서 $ f(c)=f''(c) $인 실수 $ c \in (0, 1) $가 존재함을 알 수 있습니다. $ \square $

 

어떤가요? 갑자기 어디서 튀어나왔는지 모를 해괴한 함수들을 잡았더니 답이 쉽게 나오는게 신기하지 않나요? ㅎㅎ.

사실 소개해드리고픈 재밌는 문제가 하나 더 남았는데, 오랜만에 타이핑을 했더니 손가락이 아파서 나중에 시간날 때 글을 수정하여 추가하는 것으로 하겠습니다. 이 문제들이 여러분들의 수학 욕구를 깨워줬기를 바라며 이만 줄이겠습니다. 감사합니다.